이항 옵션 거래 모델

이항 옵션 가격 모델.

'이항 옵션 가격 모델'이란 무엇입니까?

이항 옵션 가격 결정 모델은 1979 년에 개발 된 옵션 평가 방법입니다. 이항 옵션 가격 결정 모델은 평가 날짜와 옵션의 만료 날짜 사이의 기간 동안 노드 또는 시간의 특정을 허용하는 반복 프로 시저를 사용합니다. 이 모델은 가격 변화 가능성을 줄이고 재정 거래 가능성을 제거합니다. 이항 트리의 단순화 된 예는 다음과 같습니다.

속보 옵션 '가격 옵션 모델'

이항 가격 예제.

이항 트리의 단순화 된 예는 단지 하나의 시간 간격을 갖는다. 주당 100 달러로 책정 된 주식이 있다고 가정합니다. 한 달 안에이 주식의 가격은 10 달러 상승하거나 10 달러 하락할 것이며이 상황을 만듭니다.

주가 = 100 달러.

주가 (주정부) = 110 달러.

주식 가격 (다운 상태) = 90 달러.

다음으로이 주식에 사용할 수있는 통화 옵션이 한 달 만료되고 가격이 $ 100 인 것으로 가정합니다. 업 상태에서이 통화 옵션은 10 달러, 다운 상태에서는 0 달러입니다. 이항 모형은 통화 옵션의 가격이 오늘 무엇인지 계산할 수 있습니다. 단순화를 위해 투자자가 주식의 절반을 구매하여 하나의 통화 옵션을 작성하거나 판매한다고 가정합니다. 총 투자는 오늘 옵션의 가격보다 절반 몫의 가격이며, 월말의 가능한 보수는 다음과 같습니다.

오늘 비용 = $ 50 - 옵션 가격.

포트폴리오 값 (up state) = $ 55 - max ($ 110 - $ 100, 0) = $ 45.

포트폴리오 가치 (아래 상태) = $ 45 - 최대 ($ 90 - $ 100, 0) = $ 45.

주식 가격의 움직임에 관계없이 포트폴리오 성과는 동일합니다. 이 결과를 감안할 때, 차익 거래 기회가 없다고 가정하면 투자자는 한 달 동안 무위험 이자율을 받아야합니다. 현재 비용은 1 개월 동안 무위험이자로 할인 된 보수와 같아야합니다. 따라서 풀 수있는 방정식은 다음과 같습니다.

옵션 가격 = $ 50 - $ 45 x e ^ (무효 자유 율 x T). 여기서 e는 수학 상수 2.7183입니다.

무위험 이자율이 연간 3 %이고 T가 0.0833 (1을 12로 나눈 값)이라면 오늘 콜 옵션의 가격은 5.11 달러입니다.

단순하고 반복적 인 구조로 인해 이항 옵션 가격 결정 모델은 특정한 고유 한 이점을 제공합니다. 예를 들어 시간의 경과에 따라 각 노드에 대해 파생 상품에 대한 평가 스트림을 제공하므로 미국 옵션과 같은 파생 상품 가치를 평가하는 데 유용합니다. 또한 Black-Scholes 모델과 같은 다른 가격 책정 모델보다 훨씬 간단합니다.

이항 모델.

이항 모델은 Black Scholes 모델과 같은 다른 옵션 가격 결정 모델의 대안입니다. 이름은 주어진 시간에 옵션에 대해 가능한 두 가지 값을 계산한다는 사실에서 유래합니다.

언제든지 행사할 수있는 미국식 옵션에 대해보다 정확한 가격 책정 모델로 널리 간주됩니다. 아래에서 우리는 역사에 대한 더 자세한 정보, 작동 원리 및 사용 방법을 제공합니다.

역사 이항 가격 모델 이항 가격 모델을 사용하여 이항 가격 모델의 작동 원리.

이항 가격 모델의 역사.

이항 가격 모델은 Black Scholes 모델과 밀접한 관련이 있으며, 그 개발은 수학 공식에서 비롯됩니다. 1979 년 John Cox (존경받는 재무 교수), Mark Rubinstein (금융 경제학자), Stephen Ross (또한 재무 교수)가 Cox의 학생들에게 설명하고 설명하는 장치로 사용되기 시작했습니다. Black Scholes 모델이 작동합니다.

그러나 Black Scholes 모델과는 달리 옵션이 만료 시점에만 행사된다고 가정하지 않습니다. 이 때문에 블랙 숄즈 방식은 유럽 스타일 옵션에만 효과가있는 반면 미국 스타일 옵션의 가치를 계산할 때는 더 정확하다는 것이 분명해졌습니다. 이항 모델은 널리 사용되는 가격 모델이되었습니다.

이항 가격 모델의 작동 방식.

이항 가격 모델은 Black Scholes 모델보다 복잡하며 계산 시간이 오래 걸리지 만 일반적으로 더 정확하다고 간주됩니다. 블랙 숄즈 모델은 본질적으로 옵션이 가치 평가 시점에서 하나의 올바른 값을 가지고 있으며 이론적 가치를 계산하는 데 사용된다는 것을 명시합니다. 그러나 이항 모형은 시간의 경과에 따라 옵션의 이론적 가치가 어떻게 변하고 근본적인 보안의 가격이 위 또는 아래로 움직이는지를 계산합니다. 세 단계가 있습니다.

첫 번째 단계는 평가 시점부터 시작하여 만료 시점으로 이동하는 여러 특정 시점을 포함하는 가격 트리로 알려진 것을 생성하는 것입니다. 이러한 각 지점을 노드라고하며 두 번째 단계는 여러 최종 노드에 대한 옵션의 이론적 평가를 계산하는 것입니다.

최종 노드 각각은 기본 보안의 다른 가격이 주어지면 만료 시점에서 옵션의 평가가 무엇인지 나타냅니다. 예를 들어 기본 보안 가격이 5 % 증가, 10 % 증가, 5 % 감소 또는 10 % 감소한 경우 옵션 값을 계산 한 최종 노드가 4 개있을 수 있습니다.

프로세스의 마지막 단계는 각각의 선행 노드에서 이론적 인 값을 계산하는 것입니다. 최종 노드 각각에서 평가 시점으로 돌아가는 것입니다. 프로세스가 완료되면 가격 트리 (또는 이항 트리)는 기본 보안의 가격이 어떻게 변 했는가에 따라 다양한 시점에서 옵션의 이론적 가치가 무엇인지를 보여줍니다.

관련된 계산은 Black Scholes 모델보다 훨씬 복잡하며 옵션 거래자가 수행하는 것은 실용적이지 않습니다. 이항 모델 계산기를 사용하는 것이 가장 좋습니다. 인터넷에서 사용할 수있는 몇 가지가 있으며 그 중 일부는 무료이며 일부는 꽤 비쌉니다. 일부 온라인 중개인은 활성 고객에게 무료 도구를 제공합니다.

이항 가격 모델 사용.

상인이 이항 가격 결정 모델을 이해하고이를 거래 의사 결정에 사용하는 것은 결코 중요하지 않습니다. 그것은 그 용도를 가지고 있으며, 기본 보안이 가격과 시간의 경과에 따라 어떻게 변화하는지에 따라 옵션의 이론적 가치를 예측하는 데 유익 할 수 있습니다. 그러나, 그것은 절대적으로 필수적인 것이 아니며 그것을 사용하지 않고 성공적인 옵션 거래자가 될 수 있습니다.

가격 결정 모델을 선호하는 거래자의 경우, 이항 모형의 가장 큰 장점은 미국식 옵션의 이론적 가치를 계산하고 조기 운동을 고려하는 것이 훨씬 정확하다는 것입니다. 또한 이론적 인 값이 다른 변수에 따라 어떻게 변하는 지 계산하는 데 더 유연합니다.

단점은보다 복잡한 계산이 필요하기 때문에 비교 목적을 위해 많은 수의 옵션의 이론적 인 값을 계산하는 것이 더 느리고 이상적이지 않다는 것입니다.

옵션 가격 책정 모델에 대한 기본적인 이해가 있어야 도움이 될 수 있습니다. 정말 당신이 옵션 거래에 대해 합리적으로 경험하고 거래 전략을 미세 조정할 수있는 방법을 모색하기 전까지는 적어도 당신이 너무 많이 염려해야 할 주제는 아닙니다.

블랙 숄즈 모델.

Black Scholes 가격 책정 모델은 부분적으로 옵션 시장과 옵션 거래가 큰 인기를 얻고 있음을 부분적으로 책임집니다. 개발되기 전에는 가격 책정 옵션에 대한 표준 방법이 없었으며, 공정 가치를 부여하는 것은 본질적으로 불가능했습니다. 이는 옵션이 일반적으로 투자자와 거래자가 적절한 금융 상품으로 보지 못했음을 의미합니다. 이는 돈을 사용할 가치가 있는지 여부를 판단하기가 매우 어려웠 기 때문입니다.

Black Scholes 모델이 이것을 바꿨습니다. 이것은 특정 변수를 기반으로 한 옵션의 공정 가치를 계산하도록 고안된 수학 공식입니다. 이 페이지에서이 모델과 옵션 거래에서 수행해야하는 역할에 대한 자세한 정보를 제공합니다. 다음 항목이 포함됩니다.

내역 목적 입력 & amp; 블랙 숄즈 가격 모델을 사용한 가정.

Black Scholes 가격 모델은 미국의 경제학자 Fischer Black과 Myron Scholes의 이름을 따서 명명되었습니다. 1970 년 Black, 수학 물리학 자 및 Stolesford 대학의 재무 교수 인 Scholes는 Options and Corporate Liabilities의 가격 책정이라는 제목의 논문을 썼습니다. 그들은 신문을 출간하려고 시도했지만 시카고 대학 вЂ까지 다양한 출판업자에 의해 거절되었습니다. ™ s Journal of Political Economy는 1973 년에 그것을 발표하기로 동의했습니다.

이 논문에서 Black과 Scholes는 옵션이 올바른 가격을 가지고 있음을 암시했으며, 이 가격은 종이에 포함 된 방정식을 사용하여 결정될 수 있습니다. 이 방정식은 Black-Scholes 방정식 또는 Black-Scholes 방정식으로 알려지게되었습니다. 또한 1973 년에 이어지는 합리적인 옵션 가격 이론 (Theory of Rational Option Pricing)은 Robert Merton에 의해 작성되었으며, 이 수학적 접근 방식을 확장하고 Black Scholes 옵션 가격 모델을 도입했습니다.

당시 옵션 거래는 매우 새롭고 매우 위험하고 변동성이 큰 거래 형태로 간주되었습니다. 흑인, 숄즈, 머튼은 처음에는 많은 회의론으로 인사했지만, 유럽식 통화와 풋에 대한 공정 가치를 결정하기 위해 미분 방정식을 사용하여 수학을 적용 할 수 있음을 보여주었습니다.

블랙 숄즈 모델은 널리 받아 들여졌으며 옵션 거래가 다른 경우보다 훨씬 더 많이 인기를 얻었습니다. 이 모델은 종종 Black-Scholes-Merton 모델이라고도하며 현대 금융 이론에서 가장 중요한 개념 중 하나로 간주됩니다. 로버트 머튼 (Robert Merton)과 마이런 스콜스 (Myron Scholes)는 1997 년 피셔 블랙 (Fischer Black)이 사망 한 후 2 년 동안 노벨 경제학 상을 수상했습니다.

위에서 언급했듯이, 모델 이전에는 투자자가 옵션의 가격이 올바르게 매겨져 있는지 여부를 판단하기가 매우 어려웠습니다. 성공적인 투자와 거래의 중요한 부분은 자산의 가격이 비싸거나 가격이 비싼 상황에서 기회를 찾는 것입니다. 옵션으로는 이것이 가능하지 않았기 때문에 시장은 특히 투자자와 거래자가 선호하지 않았으며 매우 위험한 것으로 간주되었습니다.

Black Scholes 공식은 구매자와 판매자 모두에게 공정한 옵션에 대한 경제적 가치를 계산하기 위해 개발되었습니다. 이론적으로 옵션을 구입하여이 모델에 설정된 가격으로 반복 판매 한 경우 구매자와 판매자는 평균으로도 손해를 보게됩니다. 청구 된 수수료는 포함되지 않습니다.

수식 뒤에있는 아이디어는 옵션 계약과 기본 보안을 결합하여 계약이 정확하게 책정되었다고 가정 할 때 완벽한 헤지 상황을 만들 수 있다는 것입니다. 기본적으로이 이론은 옵션에 대해 진정으로 올바른 가격이 하나 뿐이며 가격은 수학적으로 계산 될 수 있다고 제안했습니다.

실제로 가격은 수요와 공급을 비롯한 여러 요인의 영향을 받기 때문에 옵션이 항상 정확하게 책정되는 것은 아닙니다. Black Scholes 가격 모델을 사용하면 이론적으로 옵션의 거래 가격이 실제 가격보다 높거나 낮은 지 여부를 결정할 수 있습니다. 이는 잠재적 인 거래 기회를 부각시킬 수 있습니다.

입력 & amp; 가정.

Black Scholes 가격 책정 모델은 수학 공식을 기반으로하며 그 수식은 다양한 변수 또는 입력을 사용하여 옵션의 공정 가치를 계산합니다. 이러한 변수는 모델의 입력으로 알려져 있으며 다음과 같습니다.

파생 상품의 현재 가격 파업 가격 만기까지의 기간 계약 기간 동안의 위험 자유 금리 근본적인 증권의 내재 변동성.

모델은 또한 그것이 작동한다는 몇 가지 기본 가정에 의존합니다. 이러한 가정은 다음과 같습니다.

옵션은 만료시에만 행사할 수 있습니다 (예 : 유럽식). 근본적인 보안은 때로는 가격이 올라가고 때로는 내려 가서 이동 방향을 예측할 수 없습니다. 기본 증권은 배당금을 지불하지 않습니다. 기초 증권의 변동성은 계약 기간 동안 안정적입니다. 계약 기간 동안 금리는 일정하게 유지됩니다. 옵션의 매매 나 매각에 수수료가 부과되지 않습니다. 재정 거래 기회는 없습니다 ( 구매자 나 판매자 모두 즉각적인 이익을 얻지 못한다)

이러한 가정 중 일부가 항상 유효하지는 않을 것이라는 것이 합리적으로 분명해야하며 블랙 숄즈 모델을 사용하여 계산 된 이론 값이 정확하지 않을 수 있다는 뚜렷한 가능성이 있기 때문에이를 인식하는 것이 매우 중요합니다 .

Black Scholes 가격 모델 사용.

블랙 숄즈 가격 책정 모델의 개발이 투자자들의 관점에서 볼 때 옵션 거래를보다 실용적으로 만드는 데 도움을 주었던 것은 의심의 여지가 없습니다. 옵션을 중요하게 생각하는 것이 게임을 추측하는 것 이상의 변화를 가져 왔기 때문입니다. 그러나 유의해야 할 몇 가지 핵심 사항이 있습니다.

첫째, 옵션 거래에서 성공하기 위해서는 가격 결정 모형 뒤에있는 수학 공식을 완전히 이해할 필요가 없으며 전혀 사용하지 않아도됩니다. 그래도 사용하고 싶다면 직접 계산을 수행하는 대신 인터넷에서 많은 Black Scholes 모델 계산 도구 중 하나를 사용하는 것이 더 쉽습니다. 온라인 브로커에는 고객이 사용할 수있는 계산 도구가 포함되어 있습니다.

둘째, 모델의 기초가되는 가정에 몇 가지 문제가 있기 때문에 옵션의 진정한 가치에 대한 정확한 지표로 결코 간주해서는 안된다는 점에 유의해야합니다. 예를 들어, 계약 기간 동안 이자율과 변동성이있는 증권의 변동성은 일정하게 유지 될 것으로 가정하고 있으며, 그렇지 않을 수도 있습니다.

또한 일부 주식이 배당금을 지불한다는 사실과 아메리칸 스타일 옵션이 갖고있는 추가 가치도 고려하지 않습니다. 왜냐하면 그 주식 보유자는 언제든지이를 행사할 수 있기 때문입니다. 그러나 Black Scholes 모델의 변종이 이러한 문제를 해결하는 데 적용될 수 있습니다.

거래 전략의 일부로 모델을 사용할 계획이라면 정확한 값을 반환하는 대신에 이론 값을 사용하는 것이 좋습니다. 이러한 이론적 가치는 거래를 결정하는 데 도움이되는 옵션을 비교하기 위해 사용할 수 있습니다. 이 모델을 사용하여 다른 방법을 통해 확인한 잠재적 인 무역이 성공적인 거래가 될지 여부를 결정할 수 있습니다.

요컨대 Black Scholes 가격 모델은 옵션 시장과 옵션 거래가 어떻게 발전했는지에 주목할만한 역할을했으며, 여전히 거래자에게 사용되는 것은 확실합니다. 그러나 당신은 그 한계를 완전히 인식하고 그것에 완전히 의존해서는 안됩니다.

이항 옵션 가격 모델을 이해하는 예제.

현재의 경우에도 거래 가능한 자산의 정확한 가격 결정에 동의하는 것은 상당히 어려운 일입니다. 그래서 주가는 끊임없이 변화하고 있습니다. 실제로 회사는 평상시에 가치 평가를 거의 바꾸지 않지만 주가와 평가는 매 초마다 바뀝니다. 이는 거래 가능한 자산의 현재 가격에 대한 합의에 도달하기 어렵다는 것을 보여 주며, 이로 인해 차익 거래 기회가 생깁니다. 그러나 이러한 차익 거래 기회는 실제로 오래 살지 않습니다.

그것은 모두 현재의 밸류에이션으로 내려갑니다. - 미래의 기대 수익에 대한 현재의 현재 가격은 얼마입니까?

경쟁 시장에서 차익 거래 기회를 피하기 위해 동일한 보수 구조를 가진 자산은 동일한 가격을 가져야합니다. 옵션의 평가는 어려운 과제 였고 가격 결정의 높은 변동이 관찰되어 차익 거래 기회를 이끌어 냈습니다. Black-Scholes는 가격 옵션에 사용되는 가장 인기있는 모델 중 하나로 남아 있지만 자체 제한이 있습니다. 자세한 내용은 옵션 가격 결정을 참조하십시오. 이항 옵션 가격 결정 모델은 가격 결정 옵션에 사용되는 또 다른 인기있는 방법입니다. 이 기사에서는 몇 가지 포괄적 인 단계별 예제를 설명하고이 모델을 적용 할 때의 위험 중립 개념에 대해 설명합니다. (관련 독서는 다음을 참조하십시오 : 옵션 값을 구하기 위해 이항 모델 분해).

이 기사에서는 옵션과 관련 개념 및 용어에 대한 사용자의 친숙도를 가정합니다.

현재 시장 가격이 $ 100 인 특정 주식에 콜 옵션이 있다고 가정합니다. ATM 옵션의 유효 기간은 1 년입니다. 피터와 폴은 주식 가격이 1 년에 110 달러로 떨어지거나 90 달러로 하락할 것이라는 데 동의하는 두 명의 상인이있다. 그들은 둘 다 1 년간의 주어진 시간 틀에서 기대 가격 수준에 동의하지만, 상승 움직임 (그리고 아래 움직임)의 확률에 대해서는 의견이 다르다. 베드로는 주식 가격이 110 달러가 될 확률이 60 % 인 반면 폴은 40 %라고 믿는다.

위의 내용을 토대로 통화 옵션에 대해 더 많은 비용을 지불 할 의사가있는 사람은 누구입니까?

아마 피터, 그가 높은 이동 확률을 기대하기 때문에.

이것을 검증하고 이해하기위한 계산을 봅시다. 평가에 의존하는 두 가지 자산은 통화 옵션과 기본 주식입니다. 참가자들 사이에 근본적인 주가가 1 년 만에 현재 100 달러에서 110 달러 또는 90 달러로 움직일 수 있다는 합의가 이루어졌으며 다른 가능한 가격 움직임은 없습니다.

차익 거래가없는 세계에서, 만약 우리가 기초 가격 (110 달러 또는 90 달러)이 어디이든 상관없이, 포트폴리오의 순 수익률은 항상 동일하게 유지되는 두 가지 자산 (콜 옵션 및 기본 주식)을 포함하는 포트폴리오를 생성해야한다. . 이 포트폴리오를 작성하기 위해 기본 및 단 한 통화 옵션의 'd'주를 구입한다고 가정합니다.

가격이 110 달러로 오를 경우, 우리 주식은 110 달러 *의 가치가있을 것이고, 짧은 콜 수익으로 10 달러를 잃을 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (110d - 10)입니다.

가격이 $ 90로 떨어지면 우리 주식은 $ 90 * d의 가치가 있고 옵션은 무용지물이 될 것입니다. 포트폴리오의 순 가치는 (90d)입니다.

우리가 포트폴리오의 가치를 동일하게 유지하기를 원한다면, 기본 주식 가격이 어디에 있든 상관없이 포트폴리오 가치는 다음 두 경우 모두 동일해야합니다.

즉, 만약 우리가 주식을 절반으로 구매한다면 (부분 구매가 가능하다고 가정 할 때), 우리는 주어진 기간 내에 1 년이라는 두 가지 상태 모두에서 그 가치가 동일하게 유지되도록 포트폴리오를 만들 것입니다. (포인트 1)

(90d) 또는 (110d -10) = 45로 표시되는이 포트폴리오 값은 1 년입니다. 그것의 현재 가치를 계산하기 위해, 그것은 위험 자유로운 수익률 (5 % 가정)에 의해 할인 될 수 있습니다.

= & gt; 90d * exp (-5 % * 1 년) = 45 * 0.9523 = 42.85 = & gt; 포트폴리오의 현재 가치.

현재 포트폴리오는 기본 주식의 1/2 주 (시가 $ 100)와 단시간 콜으로 구성되어 있기 때문에, 상기 계산 된 현재 가치와 동일해야합니다.

= & gt; 1 / 2 * 100 - 1 * 콜 가격 = 42.85.

= & gt; 현재 통화 가치는 오늘 기준 7.14 달러입니다.

이것은 포트폴리오 가격이 기본 가격 (위의 1 번 지점)에 관계없이 동일하게 유지된다는 위의 가정에 기반하기 때문에 위 또는 아래로 이동할 가능성은 여기에서 아무런 역할을하지 않습니다. 포트폴리오는 근본적인 가격 변동과 무관하게 위험 부담이 없습니다.

두 경우 모두 (110 달러로 상향 조정하고 90 달러로 하향 조정), 우리의 포트폴리오는 위험에 대해 중립적이며 위험 자유로운 수익률을 얻습니다.

따라서 상인 (Peter and Paul)은 상향 이동 (60 %와 40 %)의 가능성에 대한 서로 다른 인식에 관계없이이 통화 옵션에 대해 동일한 7.14 달러를 기꺼이 지불 할 것입니다. 위의 예에서 볼 수 있듯이 개별적으로 인식 된 확률은 옵션 평가에서 아무런 역할을하지 않습니다.

개별 확률이 중요하다고 가정하면 차익 거래 기회가 존재했을 것입니다. 현실 세계에서 그러한 차익 거래 기회는 작은 가격 차이로 존재하며 단기간에 사라집니다.

그러나 옵션 가격 결정에 영향을 미치는 중요한 (그리고 가장 민감한) 요소 인 이러한 모든 계산에서 과대 평가 된 변동성은 어디에 있습니까?

변동성은 이미 문제 정의의 성격에 포함되어 있습니다. 우리는 가격 수준 ($ 110과 $ 90) 중 두 가지 (그리고 단지 2 가지 - 그리고 따라서 "2 항"이라는 이름) 상태를 가정하고 있음을 기억하십시오. 휘발성은이 가정에 함축되어 있으므로 자동으로 포함됩니다 (이 예에서는 10 %).

이제 우리의 접근 방식이 일반적으로 사용되는 Black-Scholes 가격 책정에 정확하고 일관성이 있는지 확인하기 위해 온 전성 검사를 해봅시다. (참조 : 블랙 숄즈 옵션 평가 모델).

다음은 계산 된 값과 밀접하게 부합하는 옵션 계산기 결과 (OIC의 호의)의 스크린 샷입니다.

불행히도, 현실 세계는 "단지 두 국가"만큼 간단하지 않습니다. 거기에 만료 시간까지 재고에 의해 달성 할 수있는 몇 가지 가격 수준이 있습니다.

두 가지 레벨로만 제한된 이항료 가격 모델에 이러한 여러 레벨을 모두 포함 할 수 있습니까? 네, 아주 가능합니다. 이해하기 위해 간단한 수학을 배우겠습니다.

몇 가지 중간 계산 단계를 요약하여 결과에 초점을 맞추기 위해 건너 뜁니다.

계속 진행하기 위해이 문제와 솔루션을 일반화하자.

'X'는 주식의 현재 시장 가격이고 'X * u'와 'X * d'는 't'년 후의 상하 변동에 대한 미래 가격입니다. 요인 'u'는 움직임이 올라 갔음을 의미하고 'd'는 0과 1 사이에 위치하므로 1보다 커야합니다. 위의 예에서 u = 1.1 및 d = 0.9입니다.

만료시 통화 옵션 payoffs는 'P up'및 'P dn'입니다.

우리가 오늘 구입 한 주식의 포트폴리오를 만들고 짧은 통화 옵션을 만든다면 시간이 지나면 't'가됩니다.

상향 이동의 경우 포트폴리오 가치 = s * X * u - P up.

하향 이동의 경우 포트폴리오 가치 = s * X * d - P dn.

가격 이동의 경우와 유사한 평가의 경우,

= & gt; s = (Pup-Pdn) / (X * (u-d)) = no. 위험의 여지가없는 포트폴리오를 구입하기위한 주식.

't'년말의 포트폴리오의 미래 가치가 될 것입니다.

위의 현재 가치는 위험 자유로운 수익률로 할인하여 얻을 수 있습니다.

이것은 X 가격의 's'주식 보유 포트폴리오와 일치해야하며, 짧은 콜 값 'c'즉 (s * X - c)의 현재 보유는 상기와 동일해야합니다. C에 대한 해답은 결국 c를 다음과 같이 나타냅니다.

통화 프리미엄을 줄이는 경우 광고 거래를 포트폴리오에 추가해야합니다.

위의 방정식을 작성하는 또 다른 방법은 다음과 같이 재정렬하는 것입니다.

위의 방정식이됩니다.

방정식을 "q"로 재 배열하면 새로운 시각을 제공합니다.

"q"는 이제 기초의 상향 이동 확률로 해석 될 수 있습니다 ( "q"는 P up과 연관되고 "1-q"는 P dn과 연관 됨). 전체적으로, 상기 방정식은 현재의 옵션 가격, 즉 만료시의 보수의 할인 된 가치를 나타낸다.

이 확률 "q"는 기초의 상향 이동 또는 하향 이동 확률과 어떻게 다른가?

시간 t = q * X * u + (1-q) * X * d에서의 주가 값.

q의 값을 대입하고 재배치하면 시간 t의 주가가옵니다.

즉 2 상태의이 가정 된 세계에서, 주식의 가격은 무위험 수익률 (즉, 무위험 자산과 정확하게 동일하므로 임의의 위험과 독립적으로 남아 있음)에 의해 단순히 상승한다. 모든 투자자는이 모델 하에서 위험에 무관심하며 위험 중립적 모델을 구성합니다.

확률 "q"와 "(1-q)"는 위험 중립적 확률로 알려져 있으며, 평가 방법은 위험 중립적 평가 모델이라고합니다.

위의 예에는 하나의 중요한 요구 사항이 있습니다. 미래의 보수 구조에는 정밀도 ($ 110 및 $ 90 수준)가 필요합니다. 실생활에서 단계 기반 가격 수준에 대한 그러한 명확성은 불가능합니다. 오히려 가격이 무작위로 움직이며 여러 단계로 정할 수 있습니다.

예제를 더 확장 해 봅시다. 2 단계 가격 수준이 가능하다고 가정합니다. 우리는 두 번째 단계 최종 결과를 알고 있으며 오늘 옵션을 평가해야합니다 (즉, 초기 단계)

거꾸로 작업하면서 2 단계 (t = 2)에서 최종 보수를 사용하여 중간 1 단계 평가 (t = 1)를 수행 한 다음 계산 된 1 단계 평가 (t = 1), 현재 날짜 평가 (t = 0)는 위의 계산을 사용하여 도달 할 수 있습니다.

아니오에서 옵션 가격을 받으려면. 2의 경우 4와 5의 보수가 사용됩니다. 아니오에 대한 가격을 얻으려면. 3에서 5와 6의 보수가 사용됩니다. 마지막으로 계산 된 2와 3의 보수는 no로 가격을 책정하는 데 사용됩니다. 1.

이 예에서는 두 단계에서 위 (및 아래) 이동에 대해 동일한 요소가 있다고 가정합니다 - u (및 d)는 복합 방식으로 적용됩니다.

다음은 계산을 사용한 작업 예제입니다.

파업 가격 $ 110의 풋 옵션이 현재 $ 100로 거래되고 1 년 만료된다고 가정하십시오. 연간 무위험 이자율은 5 %입니다. 가격은 20 % 증가하고 6 개월마다 15 % 하락할 것으로 예상됩니다.

문제를 구조화합시다.

여기서, u = 1.2 및 d = 0.85, X = 100, t = 0.5.

위의 유도 된 수식을 사용하면 q = 0.35802832가됩니다.

포인트 2의 풋 옵션의 값,

P upup 조건에서 기본은 = 100 * 1.2 * 1.2 = $ 144가되어 P upup = 0이됩니다.

P updn 조건에서 기본은 = 100 * 1.2 * 0.85 = $ 102로 P updn = $ 8이됩니다.

Pndnd 조건에서 기본은 = 100 * 0.85 * 0.85 = $ 72.25이며 Pndnd = $ 37.75가됩니다.

p2 = 0.975309912 * (0.35802832 * 0 + (1-0.35802832) * 8) = 5.008970741.

유사하게, p3 = 0.975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0.35802832) * 37.75) = 26.42958924.

따라서 put 옵션의 가치는 p 1 = 0.975309912 * (0.35802832 * 5.008970741 + (1-0.35802832) * 26.42958924) = $ 18.29입니다.

유사하게, 2 항 모델은 하나의 전체 옵션 지속 시간을 분할하여 더 많은 단계 / 레벨을 개선 할 수 있도록합니다. 컴퓨터 프로그램이나 스프레드 시트를 사용하면 한 번에 한 단계 씩 뒤로 작업하여 원하는 옵션의 현재 가치를 얻을 수 있습니다.

이항 옵션 평가를위한 3 가지 단계를 포함하는 또 다른 예제를 통해 결론을 맺으십시오.

유럽 ​​유형의 풋 옵션을 가정합니다. 파업 가격이 12 달러이고 현재 기본 가격이 $ 10로 끝나는 데 9 개월이 소요됩니다. 모든 기간 동안 5 %의 위험 자유 율을 가정하십시오. 매 3 개월을 가정하고, 기본 가격이 20 % 위 또는 아래로 움직여 u = 1.2, d = 0.8, t = 0.25 및 3 단계 이항 트리를 제공 할 수 있습니다.

빨간색 숫자는 기본 가격을 나타내고 파란색 숫자는 풋 옵션의 결과를 나타냅니다.

위험 중립 확률 q는 0.531446으로 계산됩니다.

위의 q 값과 t = 9 개월의 보수 값을 사용하여 t = 6 개월의 해당 값은 다음과 같이 계산됩니다.

또한 t = 6에서 계산 된 값을 사용하면 t = 3에서 t = 0에서의 값은 다음과 같습니다.

풋 옵션의 현재 가치는 $ 2.18로 블랙 숄즈 모델 ($ 2.3)을 사용하여 계산 된 값에 매우 가깝습니다.

컴퓨터 프로그램을 사용하면 이러한 집중적 인 계산을 쉽게 수행 할 수 있지만 미래 가격의 예측은 옵션 가격 책정에 대한 이항 모델의 주요 제한 사항으로 남아 있습니다. 시간 간격이 더 세밀할수록 각 기간의 끝에서 보수를 정확하게 예측하는 것이 어려워집니다. 그러나 다른시기에 예상대로 변경 내용을 통합 할 수있는 유연성이 추가되어 플러스가되어 초기 운동 평가를 비롯하여 미국 옵션 가격 책정에 적합합니다. 이항 모델을 사용하여 계산 된 값은 옵션 가격 결정을위한 이항 모델의 유용성과 정확성을 나타내는 Black-Scholes와 같이 일반적으로 사용되는 다른 모델에서 계산 된 값과 거의 일치합니다. 이항 가격 모델은 상인의 ​​선호도에 따라 개발 될 수 있으며 Black-Scholes의 대안으로 사용할 수 있습니다.